디지털 논리, 불대수와 논리 회로

디지털에서 수의 표현

 컴퓨터는 0과 1의 2진법으로 정보를 읽고 쓰게 됩니다. 이러한 2진법은 0과 1로 모든 수를 표현합니다. 0, 1, 10(2), 11(3), 100(4) … 순으로 가게 됩니다. 괄호 안에 수는 10진법으로 변환한 값입니다. 이런 2진수 이외에도 0~7까지 사용하는 8진수, 0~9 그리고 A~F까지 사용하는 16진수 등이 있으며 우리가 주로 사용하는 것은 10진법을 주로 사용합니다. 시간에서는 60진법을 쓰기도 합니다.

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2진수의 연산

 2진수의 덧셈은 일반 10진수와 같습니다. 0+0=0, 0+1=1, 1+1=10처럼 계산됩니다. 2진법에서는 조금 특이한 개념이 사용됩니다. 보수라는 개념으로 1의 보수, 2의 보스가 주로 사용됩니다. 만약 a=1010001이라는 7자리의 이진수가 있다고 합시다. 7자리 모두 1로 채우면 b=1111111입니다. a에 대한 1의 보수는 b에서 a를 뺀 값으로 c=0101110이 됩니다. a와 c는 같은 자릿수의 0과 1이 서로 바뀐 것입니다. 0을 1로, 1을 0으로 바꾸면 그 이진수에 대한 1의 보수가 구해지는 것입니다. 1의 보수에 1을 더하면 2의 보수가 되며 대부분 음수처럼 취급됩니다.

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불대수 Boolean Algebra

 발음에 따라서 부울이라고 말하기도 하며, 불리언, 불린 값이라고 하기도 합니다. 일반적인 수가 아니라 참(1)과 거짓(0), 두 개의 값만을 가지는 대수체계이며, 디지털 회로와 시스템 연산을 표현, 분석하는 데 아주 유용한 방법입니다.

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논리게이트(논리회로)

 계산에 이용되는 AND, OR, NOT, XOR 등의 기본적인 논리연산을 회로로 구현한 것입니다. 연산으로 이용하기도 하며 불대수를 물리적으로 표현한 장치이기도 합니다.

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AND

 AND는 변수 간의 곱을 표시하는 연산자로 일반적으로 점(·)을 사용하여 표기합니다. 변수 A와 B에 대한 곱셈은 AB, A×B, A&B, A∩B 등으로 표시가 가능합니다. 또한, AND는 A와 B가 모두 1(True)이 되는 경우 출력을 1이 되며, 그 밖의 0, 0/0, 1/1, 0의 경우의 출력은 모두 0이 되는 논리회로입니다.

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OR

 OR는 변수 간의 합을 표시하는 연산자로 일반적으로 + 기호를 사용하여 표기합니다. 변수 A와 B에 대한 곱셈은 A+B, A∪B 등으로 표시합니다. 또한, OR는 A와 B 둘 중 1개라도 1(True)이 되는 경우, 1, 0/0, 1/1, 1 같은 경우에는 출력이 1이 되게 됩니다. 그 밖의 0, 0인 경우에만 0을 출력합니다.

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NOT

 NOT은 어떤 변수의 부정을 나타내는 것으로 1(True)은 0(False)으로, 0은 1로 변환하는 연산자입니다. 변수 위에 ‘(Prime)을 붙이거나 -(Bar)를 붙여 표현합니다.

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NAND

 NAND는 NOT과 AND의 복합어로 변수 간의 AND 결과에 NOT을 적용한 것과 같습니다. 따라서 변수 A와 B가 모두 1이 되는 경우에는 출력이 0이 되고, 그 밖의 0, 0/0, 1/1, 0의 경우의 출력은 모두 1이 되는 논리회로입니다.

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NOR

 NOR은 NOT과 OR의 복합어로 변수 간의 OR 결과에 NOT을 적용한 것과 같습니다. 따라서 변수 A와 B 둘 중 1개라도 1(True)이 되는 경우, 1, 0/0, 1/1, 1의 경우에는 출력이 0이 되게 됩니다. 그 밖의 0, 0인 경우에만 1을 출력합니다.

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XOR

 XOR은 배타적(exclusive) OR의 줄인 말로 두 개의 입력 변수가 값이 같으면 출력이 0이 되고, 다르면 1이 됩니다. 즉, 0, 0/1, 1인 경우에만 0을 출력하고, 0, 1/1, 0의 경우에는 1을 출력합니다.

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XNOR

 XNOR는 NOT과 XOR의 복합어로 변수 간의 XOR 결과에 NOT을 적용한 것과 같습니다. 따라서 변수 A와 B가 값이 같으면 출력이 1이 되고, 다르면 0이 됩니다. 즉, 0, 0/1, 1인 경우에만 1을 출력하고, 0, 1/1, 0의 경우에는 0을 출력합니다.

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볼 대수 기본 법칙

 위의 계산 방법들이 있으며 몇 가지 규칙을 따르게 됩니다. 대부분은 일반적인 수학의 사칙연산에서도 적용되는 기본 법칙들입니다.

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항등 법칙

 X+0=X, X+1=1 X·1=X, X·0=0입니다. 불대수에는 0과 1밖에 없기 때문에 이와 같은 식이 성립합니다.

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교환 법칙

 X+Y=Y+X, X·Y=Y·X입니다. 일반적인 수학과 같이 AND와 OR 안에서 연산 순서가 바뀌어도 식이 성립합니다.

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멱등 법칙

 X·X=X, X+X=X입니다. 어떤 변수에 자기 자신을 AND, OR 연산하면 다시 자기 자신이 됩니다. 0·0=0, 1+1=1이게 됩니다.

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결합 법칙

 X·(Y·Z)=(X·Y)·Z, X+(Y+Z)=(X+Y)+Z입니다. 세 변수 간의 연산 결과는 연산 순서에 영향을 받지 않습니다.

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분배 법칙

 X(Y+Z)=XY+XZ, (X+Y)(X+Z)=X(Y+Z) 입니다. 역시 일반적인 수학과 같이 적용됩니다. 두 번째 식에서는 멱등법칙도 적용됩니다.

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보원의 법칙

 X·X’=0, X+X’=1입니다. 어떤 변수와 그의 부정은 무조건 1과 0입니다. 그렇기 때문에 적용됩니다.

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드모르간 법칙

 (X·Y)‘=X’+Y’, (X+Y)‘=X’·Y’입니다. 집합에서 유명한 법칙으로 식의 전체부정 경우 각 변수에 부정하고 AND는 OR로 OR은 AND로 바꿔줍니다.

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 이런 기본 법칙 이외에도 기본 법칙을 활용한 흡수 법칙(X+XY=X, X+X’Y=X+Y), 합의 정리(ab+b'c+ac=ab+b'c, (a+b)(b'+c)(a+c)=(a+b)(b'+c)) 등이 있습니다.

 

 

소자들을 활용한 회로의 종류

전기의 정체